如何证明刚体转动动能的张量形式

  刚体绕某一点转动的惯性可由更普遍的惯性张量描述。惯性张量是二阶对称张量,它完整地刻画出刚体绕通过该点任一轴的转动惯量的大小。出于简单的角度考虑,这里仅给出绕质心的转动惯量张量的定义及其在力矩方程中的表达式。设有一个刚体A,其质心为C,刚体A绕其质心C的转动惯量张量定义为该积分遍及整个刚体A,其中,,是刚体质心C到刚体上任一点B的矢径;表达式是两个矢量的并乘;而为单位张量,标架是一个典型的单位正交曲线标架;是刚体的密度。转动惯量张量的力矩方程设刚体A所受到的绕其质心C的合力矩矢量为,刚体A在惯性系下的角速度矢量为,角加速度矢量为,A绕其质心的转动惯量张量为,则有如下的力矩方程:将上面的矢量形式的力矩方程向各个坐标轴投影(或者,更确切地说,与各个坐标轴的单位方向矢量相点乘),就可以获得各个坐标轴分量方向的标量形式的力矩方程。转动惯量张量是一个二阶张量,虽然在标架下它有九个分量,但是因为它是一个对称张量,故其实际独立的分量只有六个。

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